TRIPLE
PYTHAGORAS DAN PENERAPANNYA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu mata kuliah
MATEMATIKA 3
Dosen pengampu :
KURNIA HIDAYATI, M.Pd.
Disusun oleh :
NAMA : ULFATUN NIKMAH
NIM : 210614030
KELAS : PG.A.
JURUSAN TARBIYAH
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU MI
STAIN PONOROGO
Maret, 2016
BAB I
PENDAHULAUAN
A.
LATAR BELAKANG
Pythagoras adalah
seorang matematikawan dan filusuf yunani yang paling dikenal melalui
teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan
yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad k-6 SM.
Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan
kisah-kisah buatan mengenai dirinya.
Salah satu
peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema
pythagoras,
yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah
sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun
fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya
Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang
pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.
Maka dari itu
kami akan menjelaskan tentang Triple Pythagoras beserta penerapannya
dalam kehidupan sehari-hari dan semoga semua yang membaca makalah ini dapat
menambah wawasan ilmu pengetahuannya.
B.
RUMUSAN MASALAH
1. Apakah
pengertian triple pythagoras?
2. Bagaimana rumus
triple pythagoras?
3. Apa saja
macam-macam triple pythagoras?
4. Apa saja
sifat-sifat triple pythagoras?
5. Bagaimana
penerapan pythagoras dalam kehidupan sehari hari?
C. TUJUAN
MASALAH
1. Mengetahui
penegertian triple pythagoras.
2. Mengetahui
rumus triple pythagoras.
3. Mengetahui
macam-macam triple pythagoras.
4. Mengeahui
sifat-sifat triple pythagoras.
5. Mengetahui penerapan
pythagoras dalam kehidupan sehari hari.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
PENGERTIAN TRIPLE PYTHAGORAS
Tripel
Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang memenuhi Teorema/Dalil Pythagoras (a2
+ b2 = c2).
Sisi-sisi segitiga dengan ukuran panjang 5 cm, 12 cm, dan 13 cm adalah segitiga
siku-siku karena 52 + 122 = 132
merupakan tripel atau tigaan Pythagoras 5, 12, 13. contoh tripel Pythagoras
yang lain adalah: 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29.
Kelipatan dari
tripel Pythagoras juga tripel Pythagoras, sebagai contoh tripel Pythagoras 3,
4, 5 mempunyai kelipatan 6, 8, 10 atau 9, 12, 15 dan lainnya juga merupakan
tripel Pythagoras.[1]
Salah satu manfaat dari tripel Pythagoras adalah untuk menentukan apakah sebuah
segitiga siku-siku atau tidak.
B.
RUMUS TRIPLE PYTHAGORAS
Untuk
memperoleh Tripel Pythagoras dapat digunakan salah satu rumus yang umum
digunakan, yaitu:
a = m2 - n2,
b = 2mn, dan
c = m2 + n2
Dimana m dan n
adalah bilangan asli dengan m > n serta c dianggap sebagai sisi
terpanjang/hipotenusa.
Contoh :
1. Tentukan triple pythagoras dari m =
3 dan n = 2 !
jawab :
a = m2 - n2 = 32 - 22 =
9 – 4 = 5
b = 2mn = 2 x 3 x 2 = 12
c = m2 + n2 = 32 + 22
= 9 + 4 = 13
jadi, triple pythagorasnya 5, 12 dan
13.
2. Tentukan triple pythagoras dari m =
4 dan n = 2 !
jawab :
a = m2 – n2 = 42 – 22 =
16 – 4 = 12
b = 2mn = 2 x 4 x 2 = 16
c = m2 + n2 = 42 + 22
= 16 + 4 = 20
jadi, triple pythagorasnya 12, 16
dan 20.
C.
MACAM – MACAM TRIPLE PYTHAGORAS
Triple
pythagoras dibagi menjadi 2 macam yaitu :
1. Tripel Pythagoras
Non Primitif
Merupakan himpunan triple pythagoras yang bisa
direduksi seperti (6, 8, 10) menjadi (3, 4, 5) jika masing-masing dibagi dengan
2.
Berikut beberapa pasangan tripel Pythagoras Non
Primitif yang dinyatakan dalam tabel dibawah ini:
Tabel 1: Tripel Pythagoras Non Primitif
|
No
|
m
|
n
|
a
|
b
|
c
|
(a, b, c)
|
|
1
|
3
|
1
|
8
|
6
|
10
|
(8, 6, 10)
|
|
2
|
4
|
2
|
12
|
16
|
20
|
(12, 16, 20)
|
|
3
|
5
|
1
|
24
|
10
|
26
|
(24, 10, 26)
|
|
4
|
5
|
3
|
16
|
30
|
34
|
(16, 30, 34)
|
|
5
|
6
|
2
|
32
|
24
|
40
|
(32, 24, 40)
|
|
6
|
6
|
4
|
20
|
48
|
52
|
(20, 48, 52)
|
|
7
|
7
|
1
|
48
|
14
|
50
|
(48, 14, 50)
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Jika dilihat dari tabel diatas, ternyata
Tripel Pythagoras Non Primitif diperoleh jika m dan n secara bersama-sama
keduanya bilangan ganjil atau keduanya bilangan genap dan m > n.
2. Tripel
Pythagoras Primitif
Merupakan triple pythagoras yang tidak bisa
direduksi seperti (3, 4, 5) kecuali bilangan 4.
Dibawah ini adalah beberapa pasangan Tripel
Pythagoras Primitif yang dinyatakan dalam tabel berikut:
Tabel 2: Tripel Pythagoras Primitif
|
No
|
m
|
n
|
a
|
b
|
c
|
(a, b, c)
|
|
1
|
2
|
1
|
3
|
4
|
5
|
(3, 4, 5)
|
|
2
|
3
|
2
|
5
|
12
|
13
|
(5, 12, 13)
|
|
3
|
4
|
1
|
15
|
8
|
17
|
(15, 8, 17)
|
|
4
|
4
|
3
|
7
|
24
|
25
|
(7, 24, 25)
|
|
5
|
5
|
2
|
21
|
20
|
29
|
(21, 20, 29)
|
|
6
|
5
|
4
|
9
|
40
|
41
|
(9, 40, 41)
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Dari tabel diatas terlihat bahwa salah satu
anggota himpunan yaitu b selalu dapat diuraikan atau direduksi namun tidak
berlaku untuk anggota himpunan yang lain
D.
SIFAT-SIFAT
TRIPEL PYTHAGORAS
Pada bilangan-bilangan yang membentuk Tripel
Pythagoras ada beberapa sifat yang memenuhi, diantaranya adalah:
1.
Bilangan-bilangan yang memenuhi Tripel
Pythagoras Primitif (a, b, c) adalah tepat satu dari a atau b bilangan genap
dan c adalah bilangan ganjil
2.
Akibat dari sifat 1, setiap Tripel Pythagoras
Primitif terdiri dari satu bilangan genap dan dua bilangan ganjil. Jika
ketiganya adalah bilangan genap maka disebut Tripel Pythagoras Non Primitif
3.
Akibat dari sifat 1 dan 2, jika (a, b, c)
adalah Tripel Pythagoras maka b akan selalu bilangan genap. Tripel Pythagoras
Primitive dapat dihitung sampai tak hingga.[2]
E.
PENERAPAN PYTHAGORAS DALAM KEHIDUPAN
SEHARI-HARI
Berikut ini contoh penggunaan Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 1:
U
·
Pada gambar diatas sebuah kapal berlayar ke arah Barat
sejauh 80 km, kemudian ke arah Utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal
sekarang dari tempat semula!
Penyelesaiannya :
Diketahui : CB = 80 km, BA = 60 km
Ditanya : AC...?
Jawab :
AC2 = CB2 +
BA2
= 802 km + 602
km
= 6.400 km + 3.600 km
= 10.000 km
AC = akar 10.000 km
AC =
100 km
Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah 100 km.[3]
Contoh 2 :
Pada gambar diatas seorang anak menaikkan layang-layang
dengan benang yang panjangnya 250 m. Jarak anak di tanah dengan titik yang
tepat berada dibawah layang-layang adalah 70 m. Hitunglah ketinggihan
layang-layang tersebut!
Penyelesaiannya :
Diketahui : AE = 250 m
AB = 70 m
Ditanya : BC atau t ...?
Jawab : BC2
= AE2 – AB2
=
2502 m – 702
m
= 62500 m – 4900 m
=
57600 m
BC = akar 57600 m
BC =
240 m
Jadi, ketinggihan layang-layang adalah 240 m.
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1.
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli
yang memenuhi Teorema/Dalil Pythagoras.
2.
Rumus triple pythagoras :
a = m2 - n2, b =
2mn, dan c = m2 + n2
3.
Macam-macam triple pythagoras ada 2 yaitu :
a.
Triple pythagoras non primitif
b.
Triple pythagoras primitif
4. Sifat-sifat triple pythagoras yaitu
:
a.
Bilangan-bilangan yang memenuhi Tripel
Pythagoras Primitif (a, b, c) adalah tepat satu dari a atau b bilangan genap
dan c adalah bilangan ganjil
b.
Akibat dari sifat 1, setiap Tripel Pythagoras
Primitif terdiri dari satu bilangan genap dan dua bilangan ganjil. Jika
ketiganya adalah bilangan genap maka disebut Tripel Pythagoras Non Primitif
c.
Akibat dari sifat 1 dan 2, jika (a, b, c)
adalah Tripel Pythagoras maka b akan selalu bilangan genap. Tripel Pythagoras
Primitive dapat dihitung sampai tak hingga.
5.
Penerapannya dalam kehidupan sehari-hari yaitu
:
Pada
sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah Utara sejauh
60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!
Diketahui : CB = 80 km, BA = 60 km
Ditanya : AC2...?
Jawab :
AC2 = CB2 +
BA2
= 802 km + 602
km
= 6.400 km + 3.600 km
= 10.000 km
AC = akar 10.000 km
AC =
100 km
Jadi, jarak kapal sekarang dari
tempat semula adalah 100 km.
DAFTAR PUSTAKA
Mulyana
AZ, SP.d.,2001,Rahasia Matematika, Surabaya : Agung Media Mulya, Hal.
129
Https://pakpur81.blogspot.com/2013/06/10/tripel-pythagoras. diakses pada tanggal
27 februari 2016, pukul : 11.15 WIB.
Https://selvinakarisma.blogspot.com/2015/02/22/triple-pythagoras. diakses pada
tanggal 27 februari 2016, pukul : 11.40 WIB.
[1] Mulyana
AZ,SP.d.,Rahasia Matematika, (Surabaya : Agung Media Mulya, 2001). Hal.
129
[2] Https://pakpur81.blogspot.com/2013/06/10/tripel-pythagoras.
diakses pada tanggal 27 februari 2016, pukul : 11.15 WIB.
[3] Https://selvinakarisma.blogspot.com/2015/02/22/triple-pythagoras.
diakses pada
tanggal 27 februari 2016, pukukl : 11.40 WIB.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar